問題：劇場裏共有1000個座位，排成若干排，總排數(shù)大於16，從第二排起， 每排比前一排多一個座位，那麼劇場共有多少排座位？

答案：設(shè)第一排有a人，共有k排，則由第一排起，人數(shù)分別是a,a+1,a+2,…,a+k－1，以公式求和得k(2a+k－1)/2=1000，化簡得k(2a+k－1）=2000=2?×53。

這樣知道k是2000的因數(shù)，但仍有很多選擇，這裏有兩個竅門，令選擇收窄。

首先留意算式左方兩數(shù)加起來，k+(2a+k－1)=2(a+k－1）是奇數(shù)，因此k與(2a+k－1)是一奇一偶。即是2只會是兩數(shù)其中一個的因數(shù)，不會同時出現(xiàn)在兩數(shù)中。

其次，由於a至少是1，於是(2a+k－1)大於k。

由這兩個竅門，可以看出k只能是52=25，對應(yīng)的(2a+k－1)為2?×5，因此有座位25排。

題解中一開始用上了等差數(shù)列的基本知識，把各數(shù)用代數(shù)表示，然後求和再套入條件。之後知道排數(shù)k是2000的因數(shù)，比較多，逐個嘗試會費(fèi)時，而簡化的關(guān)鍵就是發(fā)現(xiàn)當(dāng)中兩個竅門：一是兩數(shù)一奇一偶，二是k比較小。之後就能找到答案。後半部分說明比較簡潔，下邊詳細(xì)說明。

k為2000的因數(shù)時，由於它大於16，只能是2?×5,2?×52,2?×53,53或52，對應(yīng)的(2a+k－1)分別為52,5,1,2?或2?×5。這裏若果k是偶數(shù)，則一定是有2的4次方，否則其中一個2會屬於(2a+k－1)，成了奇數(shù)，違反了一奇一偶的特性。另外，由於k較小，就只有最後一種情況才是可能的。

剛才提起的兩個竅門若果沒用上，檢查2000的因數(shù)時就有20個，有10對，比先用第一個竅門篩選出5個，再用第二個竅門的解法複雜多了。

題目內(nèi)容是等差數(shù)列的常見情景：劇院裏的座位數(shù)每排比前排多一些，可能涉及計算座位總數(shù)之類的問題，在高小奧數(shù)裏或課內(nèi)高中的數(shù)學(xué)也不時會出現(xiàn)。初步來說看似容易入手，一開始也跟常規(guī)題目區(qū)別不大，開始解題後，就見到分別了：即使用上了求和的公式，還是無法直接找出k。這裏只有一道方程，卻有兩個未知數(shù)k和a，在平常的數(shù)學(xué)裏，看到這可能已經(jīng)覺得無法解決。突破的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)座位排數(shù)k及第一排人數(shù)a都是正整數(shù)，用上了整除的性質(zhì)，才知道k是2000的因數(shù)。再配合上邊說明的竅門，才能很快知道答案。

這次題目的情景是劇院，是日常生活中常見的地方；在數(shù)學(xué)裏，又是競賽題目與課內(nèi)題目的常見課題。當(dāng)中穿插了一些整除性的技巧，再包含一些巧妙的方法，可以在常規(guī)思路以外找到捷徑，令到學(xué)生在應(yīng)用等差數(shù)列公式中，察覺代數(shù)式中正整數(shù)系的資料以及相關(guān)的數(shù)論技巧，生動又實(shí)用，能讓學(xué)生時常聯(lián)想、思考。● 張志基

香港數(shù)學(xué)奧林匹克學(xué)校

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數(shù)培訓(xùn)之註冊慈善機(jī)構(gòu)(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克比賽」，旨在發(fā)掘在數(shù)學(xué)方面有潛質(zhì)的學(xué)生。學(xué)員有機(jī)會選拔成為香港代表隊，獲免費(fèi)培訓(xùn)並參加海內(nèi)外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。